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幫助作者簡介：丘成桐，美國哈佛大學數學與物理學教授，美國科學院院士，中國科學院外籍院士，菲爾茲獎、克拉福德獎、沃爾夫獎、馬塞爾·格羅斯曼獎得主。發展了強有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學產生了深刻的變革，解決了卡拉比（Calabi）猜想、正質量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數學分支。
本文是作者為中國科協舉辦的“我是科學家”年度盛典（2019 年 12 月 21 日，中國科技館）準備的原始講稿，刊登于《數理人文》雜志。未經許可，不得轉載。
承蒙科協的邀請，在這個“我是科學家”的年度慶典上談談“創新和文化”這個問題！
我想科協對這個問題有興趣，大概是這幾年來中國工業界發現，在最尖端的科技上，中國始終落后西方國家一步，還沒有足夠引領世界工業的技術。近年來科技產品發生的劇烈競爭，使政府和工業界了解到我國的創新能力不夠。西方的高等教育機構和美國的公司，卻不斷地在創新，不斷地從基礎上改變原有的技術！
創新恐怕是一個相當深入的文化問題，這里包含著我們民族價值觀的探討！一般中國家庭對于孩子的期望，認為民生的問題高于一切，孩子日后生活能夠豐衣足食，就很滿足了！至于有家業的，更希望他們繼承家業，或許升官發財，至于孩子個人的興趣和理想，卻往往不在父母的計劃里，更遑論鼓勵孩子去尋找科學中的真和美的理想了！
在這十多年來，我每年都會主持中學生的科學競賽，和全國優秀的學生多有接觸，他們的工作和外國相比，絕不遜色。很多得獎的學生很有天分和能力，假如繼續做科學研究的話，應該會有成就的。但是相當多的學生決定去讀金融，或是最有可能賺錢的科目。很多同學向我訴說他們的決定由家長和老師指引。
在濃厚的功利主義的氣氛下，即使創新也只能產生二流的結果。究竟我們想達到創新的什么境界？值得我們深思。一個學者只是創造出一些普通的理論，發表一些普通的論文，是不是有很大意思呢？我們的高校和政府機關，要看論文多少，帽子多少來決定一個學者的職位。在某些學術方向，中國的論文數目已經超過其他國家，但是做這些學問的學者，卻往往知道我們在這些方向的學問深度不如人！由中國學者創作而又領先的學問實在不多，但是我們在別人創作出來的基礎上再上一層樓，卻還是不錯的。政府大概也是很清楚這個狀況，尤其在美國的排擠下，政府極力要求學者創新。
其實要創新必須要注意一個重要的事情，就是不單單走前人走過的路，還要走一條有意義的路！很不幸的，中國文化傳統不喜歡這樣！中國三千多年來，都重視孝道，孔子說：三年無改父之道，可謂孝矣！這樣子的孝道以后發展成對老師及其派系的盲從！大部分中國人為了家族的利益，會不顧一切！揚名聲，顯父母是古代中國人的畢生志愿！直到今天，大部分人心底里還是這么想。在尋求真理的路徑上，大部分人都不愿意偏移對于某些老教授的盲目尊崇，即使這些老教授已經幾十年不做科研，只在說一些空洞的話！
我們也知道，科學史上記載的重要工作都是在巨人的肩膀上完成的！所以我們要在巨人肩膀上走出新路出來，路固然是由我們自己去摸索，但是最重要的是走出一條有意義的路，這條路必須能夠更深入的了解大自然，而不是嘩眾取寵，讓媒體甚至是學校或者是政府來吹捧！
我本人很感激我的父母，在我們家境極度窮困的時候，他們仍然盡心盡力地支持我去讀書。在我十歲的時候，我父親開始教導我文學詩詞歷史，和哲學的想法！中國古代的經學和文學，提供了我處身立世的規范，培養了我做人的氣質。從歷史的事實上，我學習了在處事和研究學問時應對進退的方法。至于哲學思想，尤其是希臘的哲學，讓我始終對學問保持宏觀的看法！少年時代的教育影響了我一輩子！
我十四歲時，父親去世，對于我來說，這是我一生最艱難的日子，但是它也讓我極快成熟，以后我做學問，不怕艱難，不畏強權，擇善固執，而又能夠苦中作樂，都是從這段日子訓練出來的。
上述這些鍛練，對于我來說，可以說是我學習創新的基礎。
我從父親的教導里，開始知道什么是不朽的學問，他寫了一本書，叫做《西洋哲學史》（岳麓書社，2011 年），其中引用《文心雕龍》的幾句話：
嗟乎！身與時舛，志共道申！
標心于萬古之上，而送懷于千載之下！
做好學問至于不朽，使我感動不已！
我最感激我父母的地方，在于他們對于我的教育和期望，精神為重，物資次之！他們認為對我的教育，應該順著我的興趣來發展，不用計較我成長以后的收入！
所以我以后做學問時，都希望能夠深入了解大自然的奧妙，發現前人之所未知，影響后人，垂久不息。
我生平第二件重大的事情，是到加州柏克萊大學讀研究院，初到美國時，我知道的學問實在太過膚淺了。于是我一方面大量的學習經典的著作，一方面揣摩古代大師的想法，終于找到自己喜歡的學問！在研究院一年班時，我決定學習幾何學，因為我覺得幾何學是一門深刻的學問，同時它和其他科學有著密切的關系，值得花一輩子的工夫。
在我剛開始學習幾何學時，我整日泡在圖書館里，在博覽群書后，我終于找到了幾何學中一個有意思的問題，并且解決了它！
這件事情使我在研究院中略帶名氣，所幸我不以為傲，繼續找尋更有前途更能夠深入了解幾何學的方向！當時柏克來大學有一位叫做莫里（Charles Morrey）的老師教導我偏微分方程的方法，他教導的工具使我終生受用不盡。深思熟慮后，我決定將幾何學和分析學（尤其是非線性方程的方法）融合起來，主要目標是產生新的觀點，新的工具來解決幾何學上一些懸而未決的重要問題。
莫里（來源：Wiki）
這個時候我拜陳省身教授為我的博士導師。陳先生是纖維束理論的創始人之一，這個理論在拓撲學上由惠特尼（Hassler Whitney）建立，在物理學上，則是由二十世紀最偉大的數學物理學家魏爾（Hermann Weyl）在 1929 年創立，他提出的規范不變原則，成為現代物理學一個最重要的準則，當時叫做規范理論，以后陳先生在 1945 年發展了這項理論中最重要的陳類，成為現代物理學極為重要的一項數學工具。
惠特尼（左），魏爾（右）（來源：Wiki）
我對陳先生構造的陳類極為景仰，因此我認為要發展我想象的幾何分析的第一步，可以從分析的立場上徹底理解陳類開始！我認為這一步可以讓我建立起幾何、分析和代數的主要橋梁！這個計劃的第一步就是了解陳類中的第一類。
我對第一陳類情有獨鐘，終生不渝！為什么呢？
在 1933 年，陳先生在德國漢堡大學做研究生時，跟隨兩位叫做布拉施克（Wilhelm Blaschke）和凱勒（Erich K?hler）的教授學習幾何學。 凱勒教授在這一年發表了一篇重要論文，為 K?hler 幾何奠基！在這一篇文章里，我們已經看到第一陳類的曲率表示！ 凱勒發現到在 K?hler 空間中，愛因斯坦方程的表述特別簡潔而又美麗！
布拉施克（左），凱勒（右）（來源：MFO）
我做研究生時，對于愛因斯坦方程極感興趣，但是愛氏方程極為復雜，直到七十年代，學者們只知道這個方程少數的解！正在這時，我在圖書館翻讀舊的期刊時，看到卡拉比（Eugenio Calabi）教授的一篇文章，他發揮凱勒文章的內容，建議在 K?hler 空間中解決愛因斯坦的重力方程。他大膽地做了一個猜測，提出一個很漂亮的想法，有系統地去構造沒有物質的時空。
當我看到卡拉比教授的建議時，極為激動！因為我認為幾何學發展的瓶頸在于構造大量有意義的空間，這些空間又必須要具備良好的曲率。我當時想，幾何學要有突破，必須要找到這些空間！卡拉比猜測正好提供了我夢寐以求的解決方法。
但奇怪的是，當我向陳先生解釋卡拉比猜想的時候，他的回答讓我失望：他說數學上猜測多如牛毛，不用太過在意區區一個卡拉比猜想！
但是我自己已經形成了自己對幾何學的看法，我認為卡拉比猜想無論是對的或者是不對的，都必須解決！就如一塊大石在江河的中心，不移開的話，水流不會通暢。所以我還是繼續努力去考慮這個問題！
陳先生真是偉大，對好的學問愿意兼容并蓄，當我的研究進展順利時，他開始改變他的看法（這樣寬懷的中國學者并不多見！中國科學的崛起，恐怕需要年長的學者都有這樣的胸襟！）。
其實對某些現象或者學術方向的好奇，固然是創新的開始。但是在沒有完全了解真理以前，我們沒有辦法肯定如何去發掘它！一般來說，深刻的洞察力要看學者本身學問的深度，有了長年累積的經驗，和對最新科學發展不斷的接觸，學者才能看到問題的遠景！
歷史上很多劃時代的貢獻，完成的時候可能和出發時候的目標和想法完全不一樣。很多人覺得沒有完成原本定下來的目標，就是一個極大的失敗！這是錯誤而不科學的觀點，他們忘記了嚴格證明某種事情是不可能達到的，本身就是一個很有意思的成就。
在這里可以舉個例子：十九世紀以前很多物理學家相信以太的存在。在 1887 年時，邁克耳孫（Albert A. Michelson）和莫雷（Edward W. Morley）在美國俄亥俄州做了一個實驗，證明以太并不存在！對于很多人來說，沒有找到任何東西，這個實驗是失敗的！但是事實上，這個實驗對于光的性質有深入的了解，它為相對論奠定了最重要的基礎。這個實驗可以說是人類有史以來最重要的實驗之一。
邁克耳孫和莫雷的干涉儀裝置（來源：Wiki）
盡管當時的大物理學家在解釋光的波動需要以太這種介質來幫忙，深信以太的存在，但是真理畢竟是真理，所謂偉人的意見在真理面前都會變得渺小。我們找尋真理，必須要有崇高的志愿，也需要經得起失敗的挫折！
我在做研究生就要解決卡拉比猜想，可謂朝思暮想，因為這是微分幾何中流砥柱的問題，我年輕，將所有精力放在這個問題上，我以后描述當時的心境：茍真理之可知，雖九死其猶可悔！
在開始做這個問題時，我隨波逐流，和大家一樣，認定這個猜想的結果太過美妙，不可能正確，拼命找尋反例。三年后，在一個大型的國際會議中，我竟然宣布我已經找到反例！當時大家都同意我這個論斷！但是真理不是由眾人來決定的！過了三個月后， 卡拉比先生和我討論我的論點時，一下子找到了毛病，我極為焦急，于是上窮碧落下黃泉地去找尋反例！有兩個禮拜幾乎不眠不休地工作，結果都不行。經過這個痛苦的經驗后，我終于決定這個猜想應該是對的。但是我的其他朋友不相信，還是繼續在找尋反例！
找到了正確的方向后，是不是靈感來了，問題就解決了呢？不是的！
要證明卡拉比猜想比做反例困難得多！因為我們需要解一個非線性的偏微分方程，同時要在彎曲的空間上解這個方程。以前從來沒有人做過這樣的事情。所以我要從基礎做起，一步一步地摸索。
剛好我這時已經在斯坦福大學做教授，我有極為杰出的博士生，他的名字叫做孫理察（Richard Schoen），他的創造力和想法都遠遠超過我教導的其他學生。還有當時的同事西蒙（Leon Simon），和在附近柏克萊大學的鄭紹遠，都可以說是一代英杰，我們互相交流，再加上伊利諾伊大學的烏倫貝克（Karen Uhlenbeck）和康奈爾大學的漢密爾頓（Richard Hamilton）， 我們努力地將幾何分析這門學科一步一步的建立起來，我終于在 1976 年新婚不久，解決了卡拉比猜想。
作者與孫理察（Michael Eichmair 攝）
它的解決很快就引起數學界的重視，因為它建立了從非線性分析到代數和幾何的一條重要的橋梁，好幾個懸而未決的幾何大問題由它解決成功。
八年后，物理學家發現它可以用來構建弦理論中的基本時空，他們將這些空間叫做卡拉比-丘（Calabi-Yau）空間。
好多人問：它究竟是什么空間？簡單地說，它是一個不包含物質而又有內對稱的空間（內對稱有時也被稱為超對稱）。
什么時候空間存在內對稱呢？我現在試著用一個通俗的例子來描述空間的內對稱這個觀念。
假如空間中不同的地方有兩個不同的天文臺 A 和 B ，這兩個天文臺都在觀察同樣的天象，但是我們需要比較他們觀察的結果。于是我們將望遠境放在一部車子從 A 運到 B 來比較，這個望遠鏡在移動時，盡量保持它的方向。但是車子可以走不同的路徑，叫它們做路徑 a 和路徑 b 吧。我們發現：假如空間的曲率不是零的時候，在路線 a 和路線 b 移動我們的望遠鏡時，得出來的結果不一樣！它們轉了個角度！路線很多，轉的角度也很多！
現在來看看什么時候，空間存在內對稱。
我們在天文臺 A 和天文臺 B 可能都有十個望遠鏡，但是天文臺 A 的十個望遠鏡可以分為兩組 C 和 D，每組五個。天文臺 B 的十個望遠鏡也可以分為兩組 E 和 F，每組也是五個。
假如每次移動天文臺 A 的望遠鏡到天文臺 B 時，無論走任何路線，C 組望遠鏡的方向總是移動到 E 組望遠鏡中的一個方向，D 組的望遠鏡總是移到 F 組望遠鏡中的一個方向。有這樣性質的空間，我們說它存在內對稱！
在近代物理學中，內對稱是一個很重要的觀念。它對研究時空量子化起了十分重要的作用！而卡拉比-丘空間恰恰有這樣的內對稱！美妙極了！
所以在完成卡拉比猜想后，我心里的感覺用兩句宋詞來表達：
落花人獨立，微雨燕雙飛！
在這個過程中，我需要深入思考，在挫敗之后再站起來，學習新的知識，創造自己的路徑，尋求朋友和學生的幫忙，這些都是不可或缺的。
我本人相信沒有通過個人的努力，沒有辦法達到宏大的目標。要經得起挫折，才能夠成功！
我們中學時每學期開始時唱一個青年向上歌：
我要真誠，莫負人家信任深。
我要堅強，人間痛苦才能當！
科研創新帶來無比的快樂，但是沒有經過火的考驗的創新，往往深度不夠！愿望新一代的中國學子能夠體會和享受大自然真和美的歡樂！
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