仰望星空,一顆顆的亮晶晶閃耀在夜空中,有沒有想過如何去定位它呢?

畫圖?這當然是最直觀的辦法,跟別人分享心中那顆最亮的星星時,拿出圖,指指點點即可。然而,星空變幻無常,再加上人在動:今天在溪邊暢游的你明天可能趕回市區高樓中工作,這時星空早又是另一幅場景,繪制的圖形也沒了用處。

那么,如果運用數學方法,能不能準確表示出它們的位置呢?怎么把直觀的幾何圖形轉化為代數的表述呢?

想要解決問題,只需把組成幾何圖形的點(點是最圖形最基本的組成,連點成線,而線又可以確定面)和一個“數”或是“數組”掛上鉤就行。

假如我們把天空看成一個無限延伸的平面,在這個平面上,手動畫出一個十字,這樣就把天空分為四部分,給十字規定上正負方向,設定十字交叉處為零點,向上向右是正數,向下向左就是負數。盡管天上星星眾多,但無論你想定位哪一顆,只需講這顆星星向組成十字的兩條射線上分別引垂直線即可。得出的兩個數字,就是這顆星星的位置,即僅隸屬于它的坐標,這就是坐標系的雛形。

用(x、y)這一數組來表示平面上的一個點,反過來,只要建立坐標系,平面上的任意點也可以有用一個含有兩個有順序數的數組來表示。建立坐標后,只需知道坐標,不僅是星星,任何東西的位置你都一目了然,因為x軸和y軸相互垂直,所以這一坐標系也稱直角坐標系。

稍微學習過數學的人都知道平面直角坐標系的定義,橫軸X,縱軸Y,兩條坐標軸就能精確定位出平面上的任意一點。坐標的意義不僅在于能夠精確地描述點的問題,其中所蘊含的數形結合的思想讓它在代數和幾何之間建立起了一棟橋梁,圖形完全可以用代數式子來表示。這個概念是誰提出來的呢?又是怎么提出來的?

    勒奈·笛卡爾

坐標系的提出者是勒奈·笛卡爾——這位學者我們并不陌生,他是為全才,法國著名的數學家、科學家和哲學家。

笛卡爾從小生活環境較為優越,父親是地方法院的評議員,類似于如今的律師和法官,也算是書香門第,他耳濡目染,從小喜歡靜靜地捧本書看,而不是去找小伙伴們玩耍。

母親在他一歲的時候過世了,留給笛卡爾一大筆錢,為他之后從事自己喜歡的事業提供了經濟保障。8歲的時候,笛卡爾入校學習,8年的傳統文化洗禮讓笛卡爾眼界大開,也讓他找到了自己所好——數學。他覺得其他學科很多論證都是微妙且模棱兩可的,唯有數學是精確而有意義的。對數學的喜好讓他遠離都市,避開戰爭,從巴黎移居荷蘭,開始了長達20年的研究和寫作,發表了無數影響重大的論著。

其中,最主要的成果莫過于“幾何學”,準確的說是將代數和幾何連接起來。當時,代數還比較新,在數學家的頭腦中,幾何學的思維仍占據一席之地。笛卡爾一直在思考,能不能把幾何學的問題用代數的形式表達出來,打破兩者之間的界限。

坐標系創立于1637年,笛卡爾當年創立坐標系還有一個故事。笛卡爾小的時候身體就算不上強壯,常常臥病在床休息,時間一久,他就養成了在床上躺著思考問題的習慣。

研究如何數形結合,用代數描述幾何的時候,笛卡爾是在參軍時,剛剛到了一個陌生的地方,他輾轉反側,難以入睡,又開始思考幾何和代數的結合。

然而,思緒一時半會理不清,笛卡爾無聊之際看到墻面上忙著爬行織網的蜘蛛,玩心大起,頓時有了興趣,仔細觀察了起來??粗┲胗幸幝傻貦M豎交替地編織網格的時候,沉思中的笛卡爾靈機一動:蜘蛛運動的軌跡能不能這一條條的線來定位呢?蜘蛛所處的位置是不是也可以用線相交形成的點來確定呢?

想到這里,他立馬從床上爬了起來,他仔細觀察兩面垂直的墻面以及天花板的交線,三平面是兩兩垂直的。他拿出筆來,仿照著畫出了三條相互垂直的直線,分別代表兩墻面的交線以及墻面和天花板的交線,在紙上描出一個點代表爬行于墻面的蜘蛛。蜘蛛這個點到三平面的距離自然是可以計算出來的,那么,這個點不就唯一確定了嗎?它的位置就能精確唯一地被表示出來了。

笛卡爾欣喜若狂,他在日記里寫道:“第二天,我開始懂得這驚人發現的基本原理?!贝藭r,他有了將代數和幾何相結合的理論基礎。

隨后便一發不可收拾,根據這種數形結合思想,他創立了我們現在所謂的“解析幾何學”,在平面上,用一點到兩條固定直線的距離來描述點的位置;在空間中,就用一點到三個相互垂直平面的距離來精確定位點。此時,幾何問題不僅可以用代數形式表示,還可以用代數變換來實現其幾何性質。

解析幾何的出現,有著跨時代的意義。它改變了自從古希臘以來,幾何和代數分離的趨勢,將原本對立的兩個概念——數與形,完美地統一起來,讓幾何曲線和代數方程結合起來。這一天才的創新為微積分的創立奠定了基礎。

笛卡爾的發明不僅為牛頓、萊布尼茲發現微積分開辟了道路,還開拓了變量數學的領域。為什么這么說呢?笛卡爾對點的定位從另一方面講是把曲線看成是點運動的軌跡,這一觀點建立了點和實數的對應,將形(點、線、面)和“數”統一起來,將變數引進到數學中,數學不再是由常量組成的,也囊括了時時改變的變量。恩格斯給出了高度評價:數學中的轉折點就是笛卡爾的變數,有了變數,運動才進入了數學,辯證法才進入了數學,微分和積分也就有了成立的基礎。

 

本作品為“科普中國-科技創新里程碑”原創 轉載時務請注明出處

 

給星星定位——笛卡爾提出平面直角坐標系

圖文簡介

仰望星空,一顆顆的亮晶晶閃耀在夜空中,有沒有想過如何去定位它呢?