微積分學創立者牛頓

 

微積分學創立者萊布尼茨

 

數學知識結構圖

 

微積分的基礎公式：牛頓-萊布尼茨公式

 

微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支，也是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。

通俗地講，微積分是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。

有人曾做過比喻，如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。初等數學所面臨的不規則性問題，如任意形狀的面積、體積都是無法計算的。變化力、加速度、速度、位移之間的一般關系；溫度變化與熱量的傳輸；變化的力做功；帶電體周圍的電場強度分布、電勢分布；轉動物體的質量分布對轉動的影響……要有效解決這些問題，必須用微積分的方法。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。

數學家卡瓦列里、巴斯卡曾初步研究過微積分，科學家牛頓和萊布尼茨則創立了微積分。微積分學的建立，對現代科學產生了巨大的影響。偉大的革命導師馬克思和恩格斯都非常重視微積分的創建。恩格斯曾這樣贊譽：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。”

第一，微積分學促使一些主要教學新分支的誕生，并與之混合有了新的作用。例如，混合線性代數來求得值域中一組數列的“最佳”線性近似。微積分用在概率論中來確定由假設密度方程產生的連續隨機變量的概率。在解析幾何對方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區域為D的雙重積分，被設計為求積儀工具，用以量度不規則的平面面積。例如：它可以在設計時計算不規則的花瓣床、游泳池的面積。

牛頓提出微積分后，遭到了許多人的猛烈抨擊。牛頓毫無所動，繼承和總結了先輩們的思想，作出了自己獨到的建樹。他把自己的發現稱為“流數術”，稱連續變化的量為流動量，無限小的時間間隔為瞬，而流量的速度稱為流動率或流數。牛頓的“流數術”就是以流量、流數和瞬為基本概念的微分。微分誕生后，科學家們就致力于這些分支的發展。1734年,貝克萊出版了《分析學家：致不信神數學家》的論文，此文審查了近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘，為微積分的分支發展打下堅實的基礎。

第二，微積分學的建立，使數學進入“變量數學”時代。隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量。這種變化量的研究，使微積分完善成為一門基礎學科。

由于函數概念的產生和運用的加深，也由于科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之后產生了，這就是微積分學。微積分學是繼歐氏幾何后，全部數學中的最大的一個創造。

第三，微積分學的建立，對數學自身改造起了導向性作用。英國近代生物化學家李約瑟博士認為，數學本身總要改造的，必須使數學本質更接近于物理學，服從于運動，不是從它的“現在”，而是從它的“變化”或“流動”來看問題，微積分就是這種改造運動的最高成就。

微積分出現以后，逐漸顯示出它非凡的威力,過去許多數學家束手無策的問題,至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅表明狀態，并且也表明過程：運動。”

第四，微積分學的建立，推動了其它學科的發展。微積分是與應用聯系著發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關系密切，包括醫藥、護理、工業工程、商業管理、精算、計算機、統計、人口統計。

物理學大量應用微積分：經典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯系。已知密度的物體質量，動摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計算。生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。

在醫學領域，微積分可以計算血管最優支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退數據，微積分可以推導出服用量。在核醫學中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。在經濟學中，微積分可以通過計算邊際成本和邊際利潤來確定最大收益。

同樣，微積分學對哲學也起了巨大的推動作用。數學和哲學作為兩門最古老的學科，從古至今二者都是相互滲透的。從微積分的誕生形成到今天的發展過程中，都充分印證了唯物主義方法論和極限層次的思想，且微積分傳統的思想方法中反映出的對立統一、量變與質變、否定之否定等思想也正是哲學中三大辯證法的體現。

微積分學對現代科學產生的影響，用英國著名詩人雪萊的作品形容最為恰當：

一片一片的雪花，

經過暴風的再三篩選，

積成巨大的雪團，

它在陽光的激發下，

形成雪崩。

思想也是這樣：

一點一滴地積累在

不怕上帝的人心中，

終于迸發出偉大的真理，

在萬國引起回響。

 

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微積分 用一種運動的思想看世界

圖文簡介

微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。