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科普中國——科學(xué)原理一點通

1. 問題的提出：

如圖1，某旅行者在在如圖所示的棋盤路網(wǎng)上從某地O向某地A，行走方向為向右或向上行走. 問，該旅行者的不同的行走路線有多少種？由O地到對角線BC上的路線數(shù)目有多少？

圖1

2. 問題的解決：

問題1：該旅行者的不同的行走路線有多少種？

如圖2，由題意，每個路口標(biāo)出的數(shù)字，是該旅行者從某地O走到該路口的路線數(shù)目.

圖2

能否直接計算出從某地O走到該路口的路線數(shù)目呢？

不妨設(shè)表示走到第行，第j列交叉路口的路線數(shù)目，其中.

具體地，表示走到第2行，第3列交叉路口的路線數(shù)目，也可以看作由2個“－”，3個“｜”所組成的排列數(shù)，即. 一般地，可得.

問題2：如圖3，由O地到對角線BC上的路線數(shù)目有多少？

圖3

由O地到對角線BC上的路線可以構(gòu)成楊輝有向圖，由計數(shù)原理中的乘法原理直接計算可知共有種. 當(dāng)然也可以一一計算，可得…. 一般地，由O地出發(fā)，走到這條直線上的路線共有種.

3. 如何理解這些數(shù)字呢？這個數(shù)表呢？

⑴ 楊輝三角

可以看到圖中的數(shù)字恰為楊輝三角，如圖4. 早在1261年，楊輝就在《詳解九章算法》一書中提出了二項式系數(shù)的三角形排法，即楊輝三角. 法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在17世紀(jì)也建立了二項式系數(shù)的表示法.

圖4

⑵ 折線距離

行走方向為向右或向上行走，在網(wǎng)格路線中可以使行走距離最短，這個最短距離也稱為“折線距離”. 注意，由O地出發(fā)走到第2行、第3列交叉路口的路線數(shù)目為10，走到這條直線上的路線共有種. 而由O地出發(fā)走到第2行、第3列交叉路口，或這條直線上的“折線距離”均為5.

⑶ 概率解釋

由O地出發(fā)，每走一個路口就休息一次，休息5次時，恰好走到第2行，第3列交叉路口的概率是多少呢？

1956年，我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚教授從概率論的角度對楊輝三角進(jìn)行了解釋. 在一塊豎起的木板上粘帖上一此全等的正六邊形木塊，相鄰的木塊間留有一條等距的細(xì)縫，可以讓上面落下的小球通過，最下面是一此長方形的盒子，如圖5.

圖5

從頂上豎直細(xì)縫開始，小球可以左右等右能的落到下一層兩個細(xì)縫之一. 由概率論知識可得，小球落入第二層兩個豎直細(xì)縫的可能性（概率）為；小球落入第三層三個豎直細(xì)縫的可能性（概率）從左至右依次為；小球落入第四層四個豎直細(xì)縫的可能性（概率）從左至右依次為；歸納可知，小球落入第層個豎直細(xì)縫的可能性（概率）從左至右依次為，…，.

所以休息5次時，恰好走到第2行，第3列交叉路口的概率是.

上述實驗國外數(shù)學(xué)家高爾頓也做了類似實驗，稱為高爾頓釘板.

⑷ 更上一層樓：

上面我們領(lǐng)略了楊輝三角形的魅力，我們還有何感受呢？

我們知道，線段是1維幾何圖形，有2個0維的端點，；三角形是2維的圖形，有3個0維的端點，有3個1維的線段，1個2維的三角形區(qū)域；四面體（三棱錐）是3維的圖形，有4個0維的端點，有6個1維的棱，4個2維的三角形區(qū)域，1個三維的的幾何體. 如圖：

表中的數(shù)學(xué)恰好是楊輝三角的一部分. 下一行是什么呢？

可以歸納得到是5，10，10，5，1.

這些數(shù)字如何解釋呢？

類比地，我們可以得到4維空間中簡單幾何體的頂點、棱、面和體的相關(guān)分布：它有5個0維的端點，有10個1維的棱，10個2維的面，5個四面體為邊界并含有1個4維幾何體. 由楊輝三角，我們從現(xiàn)實空間進(jìn)入了虛擬空間，甚至是n維空間，n維空間簡單幾何體的頂點、棱、面、…的分布為：，…，.