1. 問題的提出：

    我國《九章算術》中有“引葭赴岸”問題，其譯文為：今有正方形水池邊長為1丈，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺. 將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接，問水深、蘆葦?shù)拈L度是多少？

    “引葭赴岸”問題，我們現(xiàn)在通常的解法是設未知元，列方程組求解.

    如圖1，在正方形ABMN中，DE=1，AC=DC,AB=10,E,C為AB,MN的中點.

   

    圖1

    設,，則在Rt△AEC中，，即，所以尺，蘆葦?shù)拈L為13尺.

    我國古代數(shù)學家劉微，巧妙的運用勾股定理解決測量蘆葦?shù)母叨?并給出了本問題的公式解：“以此池方半之，得五尺為勾，水深為股，葭長為弦，以勾及股弦差求股弦；故令勾自乘，先見矩冪也，出水者，股弦差，減此差于矩冪則余之，倍差為此冪之廣，令此冪除倍出水二尺為廣，故得水深也. ”設勾（池半）為a，股（水深）為b，弦（葭長）為c，則公式解可表示為.

    上述“引葭赴岸”問題，因為“水池邊長AB”已知，所以利用勾股定理可以順利求解，若是池邊到蘆葦?shù)木嚯x不知呢，即

    問題：如何測量底部不可到達的建筑物的高？

 

    2. 問題解決的依據(jù)：

    對于這類問題，由于建筑物不能移動，且其底部不能到達，如果只選擇一個測點，則只能測得一個角，問題不能得到解決，所以一般選取兩個或更多的測點，利用正弦定理、余弦定理中邊與角的關系加以解決. 若所求距離（建筑物的高等）較大，往往利用布設“三角網(wǎng)”的方法逐一解決，其設的點越少越好.

 

    3. 問題的解決：

    設AB為所測量建筑的高.

    

     圖2

    一般地，如圖2，選位置C對高進行測量，可測得點A的仰角為. 再選一測點D，在△BCD中，可測得.

    在△BCD中，由正弦定理，可得，得.

    在Rt△ABC中，可得.

    具體地，利用上述方法，可以測量北京故宮的四角上的角樓的高度. 如利用相應的儀器測得，其中測量儀器高為1.5米，可計算得角樓的高為AB+1.5=26.3+1.5=27.8米.

   

    圖3

    特殊地，如圖3，在B,C延長線上再選一測量點D，在C,D兩點測得點A的仰角分別為，且CD=m.

    在△ACD中，得.

    由正弦定理，可得，得.

    在Rt△ABC中，.

    具體的，如圖，勘探隊員朝一座山行進，前后兩次測得同頂點的仰角分別為和，兩個測點之間的距離為200m，求此山的高度. （測量者高度忽略不計，精確到0.1m）

    解：由題意，，所以.

    即此山的高度約為273.2m.

 

    4. 問題的進一步延伸：

    特殊地，若AB不是建筑物的高，而是平面上兩個不能到達的地方之間的距離呢？如,設A,B是兩個島嶼，如何測量它們之間的距離呢？如圖4.

圖4

    解：類比解決上述問題的方法，在海邊適當選取兩個測點C,D，使A,B,C,D四點在一個平面上. 可測得.

    在△BCD中，由正弦定理，可得，得.

    在△ACD中，，由正弦定理，可得，得.

    在△ABC中，由余弦定理可得，，

    把BC,AC代入上式即可求出AB.

    作者：董 武

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數(shù)學中的測量

圖文簡介

今有正方形水池邊長為1丈，蘆葦生長在水的中央，長出水面的部分為1尺. 將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接，問水深、蘆葦?shù)拈L度是多少？