圖蟲創(chuàng)意

這是一張普通的A4紙，對折一次厚度翻倍，面積減半。再對折一次，厚度再次翻倍，面積再次減半。以此類推，你能夠?qū)φ鄱嗌俅危?/strong>

A4紙說大不大，說小也不小，這么大的一張紙，對折下去雖然越來越小越不容易對折，但是對折個十幾下似乎不成問題。然而，實際上，一張普通的A4紙，對折很難超過7次。7次難道是折紙界中的宇宙規(guī)則上限嗎？這個宇宙的規(guī)則究竟是什么，能否突破這個規(guī)則限制？

假設(shè)原始的長、寬、厚分別是a、b、t，對折n次后，三者尺寸變化如下表。表中可以看到，每對折一次，長或?qū)挾紩谏弦淮蔚幕A(chǔ)上減半，厚度在上一次的基礎(chǔ)上翻倍，它們之間存在著一個2n的冪次方關(guān)系。

這個2n的冪次方就代表著尺寸關(guān)系變化非常快。有很多的小故事都與這個2n的冪次方相關(guān)。比如工資問題：第一天給你1分，第二天開始每天翻倍，一個月后總工資超過了1千萬元。比如國王的棋盤米粒問題：第一格1粒米，后面都翻倍，結(jié)果64格放完，整個王國甚至整個世界都被掏空了。

回到折紙問題，當(dāng)折到第n次時，而厚度變成了原來的2n倍。一張A4紙約0.1mm，那么僅僅需要對折42次，厚度達(dá)到了439805km，已經(jīng)超過了地月的平均距離384403.9km。也就是說對折了42次的A4紙，已經(jīng)沖出地球了。而只需要對折58次，就可以沖出太陽系（直徑約300億千米），沖出銀河系（直徑約16萬光年）也僅需要對折83次。照這么對折下去，根本就不需要嫦娥六號了啊。這么明顯的一個大bug，自然有宇宙規(guī)則來限制，這個規(guī)則就是力學(xué)與材料。

現(xiàn)實中，普通A4紙通常只能對折7次，七次過后，其長、寬、厚的理論尺寸分別是：18.6mm、26.3mm、12.8mm。按照這個尺寸，厚度12.8mm是最小尺寸，再對折1次似乎沒什么難度。當(dāng)厚度變?yōu)?5.6mm時，厚度方向的尺寸已經(jīng)遠(yuǎn)大于原來的長寬尺寸了，此時不容易彎折比較容易理解。然而，實際上，宇宙規(guī)則更早地介入了。對折完7次之后，整個折紙外觀上顯得比較“擰巴”，有很多地方出現(xiàn)了翹曲，紙張層與層之間縫隙較大。此時，想要再折第8次，非常困難。這到底如何解釋呢？

第一個原因在于力的規(guī)則。折紙次數(shù)的增加，被折物體越來越小，厚度越來越大。從力學(xué)上來說，尺寸越小、厚度越大的物體，其彎折的力更大。一方面，尺寸的縮小，使得作用力產(chǎn)生的彎矩變得更小。想要掰彎，就需要更大的力。這方面相信同學(xué)們都比較容易理解。另一方面，厚度的增加，則讓這段疊合紙張的剛度變得更大，也就是更加不易變形。剛度與橫截面密切相關(guān)，厚度的增加，指數(shù)級地增加了截面的慣性矩I，從而增加了剛度。

第二個原因在于尺寸的規(guī)則。聰明的同學(xué)從A4紙中發(fā)現(xiàn)了一些端倪：如果A4紙變得更薄一些，那么對折后的紙也會薄一些，而其他尺寸卻不變，那么根據(jù)力的規(guī)則，更薄的疊合紙段剛度更低，也就比較容易彎折了。確實如此，如果你用更薄的餐巾紙對折，那么對折8次很輕松。但是，紙的厚度無法持續(xù)減薄，于是相對地選用更大尺寸的紙張，同樣可以解決這個問題。據(jù)報道，吉尼斯的記錄是12次，用了一張1200多米的長紙條。2012年，美國德克薩斯州圣馬克中學(xué)的學(xué)生們用一張長度超過4千米的紙對折了13次，可惜不知為何沒被吉尼斯承認(rèn)。著名的留言終結(jié)者團(tuán)隊，將紙張拼接成55*75m的大紙，在壓路機(jī)的幫助下，最終折出了11次。

第三個原因在于結(jié)構(gòu)的規(guī)則。紙張對折后堆疊成一塊，整體就形成了一種類似于層合板的結(jié)構(gòu)。這種層間不粘結(jié)的結(jié)構(gòu)，彎折之后內(nèi)層基本不變，而外層則會被拉長。越厚，外層被拉的越長。這也是為何越厚需要的外力越大的原因。如果各層完全獨立，僅靠摩擦力作用，它將不足以抵抗彎折力，彎折后產(chǎn)生層間滑移。但是對于完整的紙，折痕處相互連接，這種折痕連接力再加上層間摩擦力，使得層間不易滑動，需要更大的力來克服。甚至，當(dāng)足夠厚之后，彎曲產(chǎn)生的外層紙張拉扯力會超過紙張的抗拉極限，出現(xiàn)破紙，挑戰(zhàn)失敗。另外，普通的A4紙單層也有一定的結(jié)構(gòu)性，這也是為什么更軟的餐巾紙可以對折更多次。如果是同樣柔軟的薄薄的絲綢，那也一定可以輕松超過7次。

對折的倍增關(guān)系可能會突破你的想象，對折不超百次就可輕松沖出銀河系。但是宇宙的規(guī)則卻限制了A4紙的對折極限，隨著對折次數(shù)的增加，由于力臂的減小和折痕連接力的增多，所需要的外力也急劇增加，想要折的更多，那么需要更薄更軟更大的平面材料才行。

本文為科普中國·創(chuàng)作培育計劃扶持作品

作者：王小胖

審核：周曉亮 北交大物理實驗室高級工程師

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

來源: 星空計劃

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