一個在大城市的市中心附近上班的年輕人在買房時通常會面臨兩個痛苦的選擇：到底是買市區(qū)的小房子，還是買遠郊的大房子？

市區(qū)的小房子上班方便，但“老破小”，要犧牲一定的生活舒適度；遠郊的大房子寬敞明亮，，但通勤時間成本高，上下班要辛苦些。

如果用“卷積”的數(shù)學思維來看這個問題，你就不會這么糾結了。

頻繁的小確幸與偶爾的大幸福

在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常聽到一個詞叫作“小確幸”。小確幸這個詞源于村上春樹的隨筆集，是指生活中經(jīng)常發(fā)生的“微小但確切的幸福”。村上春樹在文章中提及，當他把洗滌過的潔凈內衣卷好、整齊地放在抽屜中時，他就感覺到了小確幸。

生活中有很多這樣的小確幸：你一按電梯，電梯門就開了，并且正好一個朋友從電梯里出來；你開車時，你所處的那條車道最順暢；你走在路邊，突然發(fā)現(xiàn)路旁的樹已經(jīng)冒出綠芽；想媽媽了，剛要給她打電話，她的電話就打了過來；突然發(fā)現(xiàn)自己放在購物車里很久沒舍得買的化妝品降價了；運動后洗完澡，躺在沙發(fā)上感覺自己渾身毛孔都打開了，等等。

圖片來源：圖蟲創(chuàng)意

這些小確幸就是生活中小小的幸運與快樂，只要你仔細觀察、體會，永遠都能發(fā)現(xiàn)它們。

與小確幸對應的是所謂的“大幸福”。這些大幸福包括通過了各個重要的考試（中考、高考、研究生考試等），買彩票中獎，通過博士答辯，升職加薪，結婚生子，等等。正所謂人生有四喜：“久旱逢甘雨，他鄉(xiāng)遇故知，洞房花燭夜，金榜題名時。”這些都是大幸福。

從頻率上來說，“大幸福”在一段時間內的發(fā)生次數(shù)肯定比“小確幸”少得多，但帶來的愉悅感也肯定比“小確幸”更大。問題是，偶爾的大幸福和頻繁的小確幸，哪種更能使我們感到幸福？

要想科學地回答這個問題，我們要理解一個名為“卷積”的概念。

用“卷積”解釋頻繁的小確幸和偶爾的大幸福

“卷積”是控制系統(tǒng)、信號處理領域的核心概念之一，現(xiàn)在比較前沿的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡中也用到了這一概念。

卷積的目的是刻畫一個系統(tǒng)對于外界輸入的反應。

例如，身體不舒服時吃藥，所吃的“藥”是輸入，你的身體是系統(tǒng)，而你的身體變化，就是你的身體這一系統(tǒng)對于“藥”的輸出。

你走在路上時，不小心滑了一下扭了腳，然后腳腫了。在這個例子中，系統(tǒng)是你的腳，“扭了腳”是輸入，而你的腳腫了，就是腳這個系統(tǒng)對輸入的輸出。

背單詞也是如此。在你背一個單詞時，“背單詞”這個動作就是一個輸入，你的大腦是系統(tǒng)，而這個單詞在你大腦中的記憶程度就是你的大腦對于該輸入的輸出。

我們可以發(fā)現(xiàn)，在上面的例子中，輸入都是某種與脈沖類似的“刺激”。這種單次的刺激在控制系統(tǒng)中被稱為“沖激函數(shù)”（impulse）。而系統(tǒng)受到?jīng)_激函數(shù)作用后的輸出通常呈這樣一種模式：從零開始升高，到達最高點后慢慢下降至零。

比如，背單詞的這個行為，相當于對你的大腦進行了一次沖激輸入。你的大腦迅速開始記憶，并在短時間內留下深刻印象。但是這個印象會隨著時間的流逝而逐漸變淡，直到你把這個單詞全忘了。

這種模式也是現(xiàn)實中絕大部分系統(tǒng)對于外界刺激的響應模式。

現(xiàn)在的問題是，如果輸入并不像上文例子中那樣是一次性的刺激，而會持續(xù)一段時間，那么此時系統(tǒng)的輸出會是怎樣的呢？圖4-6展示了系統(tǒng)對連續(xù)輸入的輸出。

卷積公式其實告訴了我們這樣的道理：系統(tǒng)對于一個脈沖序列的響應，就是其對單獨每個脈沖輸入的響應的疊加。

我們可以用卷積說明大幸福和小確幸對你的幸福感的影響。

當你遇見一件讓你開心的事情時（不管是大幸福還是小確幸），這件事就是上一節(jié)中的沖激函數(shù)，它作用在“你”這個系統(tǒng)上，會讓你產生幸福感。

大幸福對應的沖激函數(shù)比小確幸對應的沖激函數(shù)高得多，帶來的刺激也更強烈，因此大幸福給你帶來的幸福感的最高點更高，并且持續(xù)的時間更長。

單次的大幸福肯定比單次的小確幸更讓你產生幸福感。大幸福畢竟很少見，一個人一生可能都沒有幾次；而小確幸卻可以經(jīng)常發(fā)生。

我們來看一下頻繁發(fā)生的小確幸會讓你產生什么樣的幸福感。

圖4-8顯示了一連串頻繁發(fā)生的小確幸會讓你產生的幸福感。我們可以看出，雖然每個小確幸只產生一個很小的幸福感，但根據(jù)卷積公式，系統(tǒng)對于一系列輸入的輸出即其對單獨每個刺激的響應的疊加。因為每個小確幸離得很近，相鄰的小確幸產生的幸福感在疊加后，會讓你整體的幸福感一直處于比較高的水平。

雖然大幸福每次產生的幸福感比小確幸高得多，但是這種幸福感維持的時間并不算長。更重要的是，因為間隔時間太久，所以你的幸福感僅在大幸福到來時很高，而在中間漫長的過程中，你的幸福感一直很低，這個過程見圖 4-9。

對比圖 4-8 和圖 4-9 我們可以清楚地看出：

頻繁的小確幸，能比偶爾的大幸福帶來更多幸福感。

到底是買市區(qū)的小房子，還是買遠郊的大房子？

回到開頭的問題：一個在大城市的市中心附近上班的年輕人在買房時通常會面臨兩個痛苦的選擇：到底是買市區(qū)的小房子，還是買遠郊的大房子？

這個問題也可以用卷積的思想分析。

如果他買了遠郊的大房子，他會在剛住進去的一段時間內感受到“大幸福”。但是因為大房子在遠郊，所以他需要每天花很長時間在單位和住所之間往返。這個痛苦雖然不大，卻是實實在在每天都要承受的，這些每天發(fā)生的“小痛苦”疊加起來，會讓他的幸福感非常低。

至于市區(qū)的小房子，雖然剛住進去他會覺得不習慣，但是之后適應了，就不會覺得房子太小了。這只是一個持續(xù)期很短的“大痛苦”。但隨之而來的，是每天他都可以省下大量的通勤時間，他不用起那么早，有充足的睡眠時間，下班后也可以有很多時間用來鍛煉、看書、做想做的事情。這些“小確幸”每天疊加起來，會讓他的幸福感一直處于較高的水平。

所以說，如果要選擇，應該買市區(qū)的小房子，而不是遠郊的大房子。

文章由科普中國-星空計劃（創(chuàng)作培育）出品，轉載請注明來源。

作者：北京航空航天大學副教授、博士生導師 劉雪峰

審核：華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 副教授 鄧清泉

來源: 星空計劃

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