麻省理工的科學家們曾發布了一個“打結秘笈”。不僅告訴你怎么打結，還道出了個所以然。正是：打架我不行，打結，你不行。

從古至今，人類的記事方式先后經歷繩結與甲骨、鉛與火、筆與紙、光與電的洗禮。《周易》記載：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。”說的是我們老祖宗最初以取繩為結而記事，結的形狀、多寡具有約定俗成的內涵，類似法律條文。后世有了甲骨、帛、竹木簡牘，再后有了紙張。

結，一種線與線的糾纏，在人類社會發展進程中一直扮演著看似渺小、卻十分重要的角色。不僅是早期的記事，在現代，攀登者、航海員、建筑工人、外科醫生……都離不開繩結的幫助，媽媽們也是依靠“結”編織出最溫暖的毛衣和最美的中國結。

可是，什么樣的結才是最牢固？怎樣打結，才能讓我們將生命安全放心交付呢？

01

結的牢固程度啥決定？

此前，答案往往來自于師傅、朋友或自己的經驗。但經驗一定可靠嗎？有沒有一種科學的規則，能夠有效判別某個結是否牢固呢？

來自美國麻省理工學院（MIT）的J?rn Dunkel等人此前在《科學》雜志上發表的一項新研究，為解決這個問題提供了可行方案。

研究人員通過詳細分析繩結的形狀、彈性以及摩擦等因素之間的微妙作用，建立了合適的物理模型，并通過可以隨著力的變化而改變顏色的特殊繩子進行了實驗驗證。

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可以隨應力變色的繩子（上）和仿真模擬結果（下），二者十分契合 | J?rn Dunkel（論文作者）

結果顯示，判斷由兩根繩子打成的結是否穩固，需要重點關注三個因素：繩子相交點的個數、繩子的扭轉能量、繩子的切向作用力效果。

為了讓大家更好地領悟要義，科學家們舉了具體例子，還配了簡圖。其中，每根繩子都是以一端拉、一端“放任不管”的方式驗證其穩固程度——如果繩子容易滑出，就表示“結”不穩固。圖中箭頭表示繩子被“抽拉”的方向。

現在，我們就來看看這三個因素，是怎樣影響繩結穩固度的。

1）繩子相交點的個數

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平結和阿爾卑斯蝴蝶結 | Reproduced from Ref. 1

在經過簡化的線條模型中，我們可以看出，對于常見的“平結”，兩根繩子相交點的個數是6。而登山者常用的阿爾卑斯蝴蝶結相交點的個數是12，遠遠多于平結。無論是人們的經驗，還是這項研究采用的仿真模型和實驗結果，都證實了具有更多交點數目的阿爾卑斯蝴蝶結的牢固程度遠高于平結。

當然，它們之間除了相交點的個數不同，還有以下因素的差異。

2） 繩子的扭轉能量

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低扭轉能量（左）和高扭轉能量（右）時的繩子，前者會像被搓的筷子一樣“旋轉”，后者則像被搓的麻花一樣“扭轉” | J?rn Dunkel

以藍色繩子的扭轉狀態為例。在左圖中，藍色繩子因受到兩根紅色繩子施加的不同方向的摩擦力作用而產生逆時針旋轉（就像搓筷子時，筷子的那種“旋轉”）的運動趨勢。這時藍色繩子容易發生旋轉，而不易發生扭轉，即，具有較低的扭轉能量。繩結扭轉能量較低，易于旋轉和打滑，穩固性較差。

若其中一個力的施力方向發生改變，如右圖，這個力的作用效果就會隨之變為使藍色繩子產生順指針旋轉的趨勢。這樣，在順、逆時針旋轉趨勢的共同作用下，藍色繩子易于扭轉（類似于搓麻花時，麻花的那種“擰”）而不易旋轉，具有較高的扭轉能量。繩結扭轉能量較高，不易旋轉和打滑，具有更好的安全性。

這樣，在一個復雜的結中，當相交點處摩擦力方向綜合效果使整個結具有更高扭轉能量時，結的穩固性會更好。

下面我們以平結和一種十分類似平結的“祖母結”為例，來感受一下扭轉能量對繩結穩固性的影響。

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平結和祖母結 | Reproduced from Ref. 1

從上圖的線條模型圖中可以看出，平結中上半部分3個交點處產生的摩擦力使藍色繩子具有順時針旋轉的趨勢，而下半部分的3個交點則使其逆時針旋轉。對于祖母結，所有6個交點處的摩擦力都使藍色繩子順時針旋轉，這種情況下的繩易于發生旋轉打滑。若換做以紅色繩子為研究對象，可以得到一樣的結果。

所以，盡管同是6個交點，由于扭轉能量的不同，祖母結的穩固程度遠不及平結。將平結誤打成祖母結是許多攀巖新手常犯的錯誤，甚至可能引發危險，因此祖母結也被戲稱為“外行平結”。

3） 繩子的切向作用力效果

上文提到的扭轉能量是繩與繩之間垂直作用力的相互影響。而當繩結拉緊時，繩與繩之間是緊密接觸的，它們在沿著繩方向相對滑動時產生的切向力也不能忽視。

考慮兩根平行的緊密接觸的繩子，相對于同向拉扯，反向拉扯時的摩擦力會更大，它們形成的結也會更加穩固。我們嘗試對比平結和另一種類似平結的“小偷結”。它們的區別在于平結的兩個施力端在同一側，而小偷結的施力端是對側。

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平結和小偷結（看起來一模一樣，但人們拉拽他們的方式不一樣，參考左圖中的黑箭頭） | Reproduced from Ref. 1

從簡化的線條模型圖可以看出，平結和小偷結都有6個交點，并且具有相同的扭轉能量。但是，有經驗的攀登者會知道，平結相對于小偷結具有更好的穩固程度。它們的差別就在于切向作用力的效果。

對于平結，中間部分的繩段具有相反的拉扯方向，并且上下4對繩段處拉扯方向也是相反的；而對于小偷結，只有中間繩段拉扯方向相反，而上下4對繩段的拉扯方向相同。

所以，小偷結中切向作用力的效果相對于平結更弱，牢固程度更差，這或許是小偷結僅僅被小偷用來制作標記（“小偷結”名稱的由來）而沒有被登山者廣泛采用的主要原因。

02

小研究 大應用

如此，我們分析繩結的拓撲結構（由實體抽象而成的極簡結構，代表某種“本質”特征 ），獲得繩子相交點的個數、扭轉能量和切向作用力效果這三個重要的繩結特性，就能定性地預測出它的穩固性。

科學家們還發現，在本次研究分析的所有繩結里，仿真和實驗結果表明，“齊柏林結”是最穩固的一種，比攀巖運動中流行的阿爾卑斯蝴蝶結的安全性更高。

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超穩固的齊柏林結 | Reproduced from Ref. 1

這項研究為人們提供了一種科學且簡易的方法，通過分析繩結形狀特征就能預測繩結穩固程度。

不過你或許會想，即使沒有這項研究，攀巖愛好者、水手、外科醫生、建筑工人，以及織毛衣的媽媽們，也能通過長期實踐和經驗傳承獲得性能優良的繩結方案。那你可把這項研究想簡單了。

當科學家們研究DNA（脫氧核糖核酸）、液晶、等離子體、量子流體、蛋白質、聚合物等微觀“繩結”結構的力學性質時，這種通用的判別規則顯得尤為重要，這也是這項關于結和糾纏的拓撲力學研究的深遠意義所在。

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“結”的研究有著廣泛的應用前景，圖為電鏡下的DNA | wikipedia.org

而對于我們一般人嘛，看完這篇文章，估計大家都是繩結達人了，以后你可以拽拽地對別人說：打架我不行，打結，你不行。

參考文獻

[1]V. P. Patil, J. D. Sandt, M. Kolle, J. Dunkel, Topologicalmechanics of knots and tangles, Science 367, 71–75 (2020).

[2]https://phys.org/news/2020-01-mathematical-stability.html

[3]https://www.npr.org/2020/01/02/793050811/a-knotty-problem-solved

[4]http://news.mit.edu/2020/model-how-strong-knot-0102

[5]https://www.sciencenews.org/article/color-changing-fibers-mysteries-math-physics-how-knots-work

[6]https://www.scientificamerican.com/article/color-changing-fibers-unravel-a-knotty-mystery/

作者 | 龍浩 微電子學與固體電子學博士

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