微積分？聽起來很高大上！我也能懂嗎？

作者鄭重承諾：讀懂這篇科普最多需要初中數學知識！而且大部分不需要數學知識，只需要觀察力和想象力！

微積分是高等數學的重要組成部分。它表現了運動和變化的思想，讓數學從靜態走向動態。上至三體問題，下至投籃拋物，要想精確求解，都離不開微積分這一工具。

微積分主要包含三大部分：極限論、微分學、積分學（這會兒知道為什么叫“微積分”了吧？）。

這次微積分科普，會圍繞我們的老朋友進行：圓周率π。

沒錯！就是圓的周長與直徑的比，是一個無限不循環小數：3.1415926……

今年是中國古代數學家劉徽誕辰1800周年。劉徽為了得出準確的圓周率，創造了一種名叫“割圓術”的算法。所謂“割圓”，就是畫圓內接正多邊形，增加邊數。他說：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”

這里有一個重要概念：無限。一個重要方法：逼近。

看這張圖，隨著邊數增加，多邊形越來越接近圓，其周長也越來越接近圓的周長。

為了思考無限，我們用越來越大的數字來逼近它。48條邊的正多邊形，雖然不是“無限”條邊，但也很接近圓了吧？所以我們稍微想象一下，就可以猜到：有無限條邊時，多邊形就變成了圓！

上面的過程體現了“極限思想”。所謂極限，就是“趨勢”。我們把直徑為1的正六邊形的周長記做C6，正12邊形周長是C12……以此類推。

看這一串數：C6=3，C12≈3.096……Cn。當n越來越大的時候，Cn就越來越接近π。

換句話說，當n大到一定程度的時候（比如n=48），Cn與π的“距離”非常小。數學上用兩個數的差的絕對值，來描述它們的距離。

再精細一些，把上面的“一定程度”換成某個大數N，“非常小的距離”換成任意的正數。當邊數n大于N時，Cn-π的絕對值（距離）小于一個任意小的正數ε（N越大ε越小）。這時把π稱為數列Cn的極限，稱“Cn趨于π”。

這就是數列極限的定義。

讓我們回到用割圓術求π，思路是這樣的：

求π只需求出圓的周長，再除以直徑。首先是把正n邊形的邊長累加，然后，讓n一直增大。當n趨于無窮大，累計周長就趨于π了。

所以我們不急于讓n變大。先固定n，得出累加表達式，再求極限！

看這張圖（以n=6為例），我們把圓畫在一個坐標系里，圓心就是原點。把正n邊形邊長寫作ds（前面加d表示“非常小”），邊長的水平距離是dx，垂直距離是dy。

現在要用到初中的“勾股定理”：

ds2=dx2+dy2.

但同時知道dx、dy有點麻煩，可以換一種寫法，只保留dx嗎？

我們現在處理的是直線，初中數學有“斜率”k的概念。在這里，k=dy/dx。所以dy=k?dx.

換一種寫法:

ds2=dx2+k2dx2=(1+k2)dx2.

那么，正n邊形的周長就是：

等號右邊的怪符號表示求和。

因為在多邊形不同的邊上，k是不一樣的。當n越來越大時，ds越來越短，dx也越來越短，多邊形上每一點就對應一個斜率k。當我們用dx代替n來表示周長Cn，這個式子就是以多邊形上一點的橫坐標x為自變量的函數。

函數極限的定義與數列極限類似：當Cn與π的距離小于任意正數ε（非常近），如果有正數δ，dx與0的距離小于δ。這時就叫dx趨于0時，Cn趨于π。

當n趨于無窮大（dx趨于0）時，正多邊形不復存在，k的幾何意義是什么呢？

我們以任意一條邊為例觀察：邊與圓有兩個交點，這種線叫做圓的“割線”。我們固定其中一點，當n增大，割線與圓的兩個交點越來越近，最終會是什么呢？

兩個交點合而為一！割線變成了切線！

所以，當n趨于無窮大，k的幾何意義就是該點切線的斜率！

在微積分中，我們把k叫做“導數”，如圖所示的k就是函數y=f(x)在點D處的導數。

導數可表示為

f(x)'=dy/dx.

導數是微分學的核心。

如果把上式換個寫法：

dy=f(x)'dx.

又是什么意思呢？

dx是一段非常小的橫向距離（x的變化量），乘上x的導數之后，就是對應的縱向距離。如果知道了函數f(x)，而且點(x，f(x))存在導數，就可以根據求導法則求出f(x)在該點的導數，借此得到dy。當dx非常小的時候，dy非常接近于y的變化量。也就是說，可以用直線估計曲線！在微積分角度看，只有把dx取得足夠小，曲線的微觀部分就是直線！

由圖片可知，當dx越來越接近0，y的變化量Δy和dy的差就越來越小，最終可以用dy估計Δy的變化量（曲線也越來越接近直線）。

這時，我們把dy叫做“微分”。

需要指出，導數和微分存在的前提是函數連續。借助圖像來說，如果圓有缺口，缺口處就沒有切線！因此該點沒有導數和微分！

反過來，如函數可導，則函數連續。

現在回到求圓周率，我們要算的是n趨于無窮大時累計和的極限。

把累計和表示為：

其中x的大小在兩個實數a、b之間。

如果函數f(x)是連續的，那么dx趨于0時，累計和的極限叫做“定積分”。a叫積分下限，b叫積分上限。寫作：

我們知道dx是橫向的一小段，而對每一個dx，f(x)是對應的函數值，所以f(x)dx就是一個窄矩形的面積（如圖）。對這一系列矩形求和，取極限（dx趨于0），就是函數f(x)下曲邊梯形的面積（由函數圖像、x軸、縱向直線x=a和x=b圍成）！這就是積分的幾何意義。

斜線陰影部分即x=a、x=b之間的曲邊梯形

但是我們剛才只掌握了微分學，如何把求面積跟微分學建立聯系呢？微分是“化整為零”從而“化曲為直”，而積分是“化整為零”之后“集腋成裘”，二者好像很難關聯起來。

數學有一個重要思維叫“化歸”，也就是重新表達問題，使之變成已經解決的問題。我們現在需要造出一座橋梁，把積分和微分打通！

接下來介紹一個重磅公式：牛頓-萊布尼茨公式。

我們提出一個新函數，叫“原函數”：

其中，t是自變量（δ≤t≤ε），函數f(t)在這一區域存在積分，x也在這一區域中。

根據定積分的幾何意義，原函數就是f(t)、水平軸、直線t=δ和t=x圍成的曲邊梯形的面積。

由上圖可得，我們要求的面積，是自δ到b的面積減去δ到a的面積（陰影部分減豎線陰影部分，就是斜線陰影部分），所以用數學語言表達：

那么，只要把原函數F(x)和微分學建立聯系，問題就解決了！

現在思考一個問題：對F(x)求導數（自變量為x），會得到什么？

我們已經知道，函數f(x)的導數可表示為dy/dx。dx趨于0時，dy是函數變化量。

根據定積分的幾何性質，可以知道原函數的變化量是一個很窄的曲邊梯形，面積就是f(x)dx。現在把它再“除”dx，得到的就是f(x)！所以，對一個函數求原函數后，再求導數，會得到最初的函數！換句話說，求原函數是求導的逆運算（就像加法是減法的逆運算）。積分和微分成功建立了聯系！

因此，F(x)’=f(x)。

如果幾個函數只相差一個任意常數，對它們求導的結果是一樣的（平移曲線不會改變形狀，所以各點斜率不變）。用C表示常數，則

我們把新式子中的

稱為不定積分。根據求原函數與求導之間是逆運算的關系，給出不定積分表。可以通過不定積分表，借助牛頓-萊布尼茨公式求解面積！概括說就是：求面積就是求定積分，求定積分就需要求原函數，求原函數就查不定積分表！

為了方便，也把求原函數叫做“求積分”。

說了這么多，π怎么算啊？接下來就是收尾大戲：

為了便于計算，令圓半徑為1。此時周長為2π，半周長的大小就是π。因為圓是對稱的，只需算出圓周長的四分之一，再乘以2就是半周長，也就是π。

因為x的取值范圍是0到1(半徑為一），因此圓四分之一周長就是

剛才我們說了，k就是圓在某點的導數。因為圓的方程是

y2+x2=1

四分之一的圓的方程（x、y都大于0）就是

根據求導公式，得出導數

代入k得

=2(F(1)-F(0))

根據不定積分表，

arcsin(x)是正弦函數的反函數，就是把正弦函數的x和y顛倒過來，比如sin(π/2)=1,則arcsin(1)=π/2（π/2就是90度）。

因此，

2(F(1)-F(0))

=2arcsin(1)-2arcsin(0)

=2（π/2)

=π

因此，我們用微積分方法，也能算出圓周率！

我們從割圓術出發，討論了微積分的幾個重要部分：極限、微分學、積分學。最后用微積分重新算出了圓周率。

下面回顧一下：

割圓術的實質，是用短小的直邊逼近圓周的曲線。當我們把圓周無限細分，可以把幾乎看不出彎曲的短曲線看成直線。然后把這些直線的長度求和，就相當于圓的周長。

這里面有兩個過程。第一個是切割：在圓內作越來越短的割線，割線最后會成為與圓只有一個交點的切線，把這段非常短小的切線長代替局部的曲線長。切線的斜率叫“導數”。

第二個過程是把這些細微的短線求和，積少成多，求割線趨于0時的極限，稱為“積分”。

不論微分還是積分，都必須有一個前提：曲線必須是完整的，不可以有缺口——因為直線與缺口沒有交點，就沒有切線。換句話說，曲線必須連續！因此，連續是微分、積分的前提。把有限的長度切分成一系列細微部分，用越切越細的過程逼近結果，是微分、積分的基礎。

參考文獻：

[1]常庚哲,史濟懷編.數學分析教程.上冊[M].北京：高等教育出版社,2003.5

[2][日]小平邦彥著;裴東河譯.微積分入門[M].北京：人民郵電出版社,2019.3

來源: 陳林孝