小張在前兩篇的設計中獲得了好處，自然不會停止腳步，于是他和小王偶爾也討論目前的系統有沒有什么可以進一步解決的問題，沒成想，不久就遇到了。

在分析內部機理時，小張發現了之前方法存在的一個重大問題，無論是經典控制理論，還是前面提出的線性系統理論，針對的都是線性系統，而對于燒水的鍋爐中一些環節來說，大差不差用用還好，真要在這上面改進，一個問題就產生了：它的特性是非線性的，因此前面理論除了PID外，基本不再適用，而對于一些強的非線性環節來說，PID有時也達不到很好的效果。小張突然發現，面對這個神秘的現象，像是一匹黑馬突現，將之前的“萬能工具”全部推到，又一次束手無策了。當然也并非這么極端，利用泰勒展開式把非線性在某一點附近看作近似的線性系統，然后再回到線性系統。但這里有人就會問，這個方法聽上去行啊，但為啥還要繼續研究呢？除了前面說的非線性特性影響和精度要求、還有一些注意點，比如在設計線性控制器時，通常有必要假定系統模型的參數是合理已知的。然而，許多控制問題涉及模型參數的不確定性?；诓痪_或過時值的參數的線性控制器可能會表現出顯著的性能退化甚至不穩定。非線性可以有意地引入到控制系統的控制器部分，從而可以接納模型的不確定性。比如兩類非線性控制器：魯棒控制器和自適應控制器。我們后續會進一步介紹。

對于非線性，小王也很少研究，但他想到了同事小宋，他好像在這方面有了一些深入的見解，因此他就拉著小宋來到了現場。小張一看來了專家，自然積極，先是介紹了自己在梳理整個系統時遇到的一些非線性環節，比如摩擦、飽和、死區（有輸入信號，但對應輸出信號為零的一種非線性系統典型特性）、間隙和遲滯，以及他通過實驗發現的一些非線性特性，比如多平衡點，極限環，混沌等。

多平衡點，顧名思義，就是系統存在多個平衡點，混沌這個概念或多或少也都聽說過，對于初始條件的微小差異，非線性系統會表現出一種稱為混沌的現象，這意味著系統輸出對初始條件極其敏感?；煦绲谋举|特征是系統輸出的不可預測性。即使我們有一個精確的非線性系統模型和一臺極其精確的計算機，從長遠來看，系統的響應仍然無法很好地預測。混沌須與隨機運動區分開來。在隨機運動中，系統模型或輸入含有不確定性，因此無法準確預測輸出的時間變化（只有統計方法可用）。另一方面，在混沌運動中，所涉及的問題是確定性的，在系統模型、輸入或初始條件中幾乎沒有不確定性。而很少聽說過的，就是小張提到的極限環問題，非線性系統在沒有外界激勵的情況下可以顯示固定振幅和固定周期的振動。這些振蕩被稱為極限環或自激振蕩。

聽完小張介紹，小宋心里大體也有了數，他也介紹了自己的一些研究工作，首先對于一種特殊的非線性系統，二階系統，有一種稱作相平面法的圖形化方法，用圖形來解二階常微分方程，這種方法的核心就在于在二維平面上畫出不同初始值的系統運動軌線，從而分析系統。

其次，對于如何尋找極限環，判斷極限環到底存不存在，也有一種比較經典的方法，我們介紹過頻率響應方法，但是這種方法不能直接用于非線性系統，因為對于非線性系統來說不能定義頻率響應函數，然而對于某些非線性系統，可以對頻域方法進行擴展，即后面所說的描述函數方法，它可以用來近似的分析和預測非線性特性，由于缺乏系統的非線性系統分析工具，使得它在實際工作當中不可缺少，在工程應用中描述函數方法，主要用來預測非線性系統的極限環。

描述函數法的基本思想就是假設極限環存在，把系統分為線性部分和非線性部分，同時對于非線性部分進行線性化，得出它的頻率表達式即描述函數，而判斷極限環是否存在利用了推廣后的奈奎斯特穩定判據。

接下來就是核心問題，也就是對于非線性系統進行控制，小宋和同事們也是主要研究這一塊，提出了很多控制策略，比如將開關控制和最優控制結合起來的bang-bang控制、增益調度，反饋線性化法等。

增益調度思想是選擇分布在系統工作范圍內的一組工作點，然后對任意一個工作點，求出其時不變線性近似系統，對每個線性近似系統設計一個線性控制器。在工作點之間，補償器的參數用差值法（或稱為調度法）確定，這樣就得到了一個全局的補償器。

而反饋線性化的基本思想是利用反饋消掉系統中的非線性環節，人們之前處理非線性問題，一個基本思路是利用泰勒展開式把非線性在某一點附近看作近似的線性，但這種思路處理不了大范圍的問題，反饋線性化方法也是針對這種缺點提出。

得到了控制方案后，關鍵問題就變成了穩定性判斷，由于方程復雜，非線性系統的穩定性成為一個難題。小宋在這個問題上也花費了不少時間，直到有一天他發現了物理系很久之前畢業的學生小李的畢業論文，小李也在畢業論文中提出了一種基于物理啟發的穩定性理論，也就是一個很簡單的思想，如果一個系統的能量必然耗盡，那么這個系統必然趨于穩定。這種思想轉化成數學語言，就是能量函數正定其導數負定。（李雅普諾夫穩定性理論）

相應的，對于之前提出的外部穩定性和內部穩定性，也有小李意義下的穩定性和漸進穩定性，這種思想引入控制系統穩定性分析之后，線性系統和非線性系統的穩定性問題得到了一個很大的改革，這里提一句，還記得前面提到過的線性二次型控制器嗎？那里僅僅保證了最優性，卻沒有涉及到穩定性，在后來用小李的理論推導下，導出了和線性二次型最優控制推導過程中同樣出現的一個黎卡提方程，換句話說，線性二次型控制總是穩定的。這是線性二次型控制的一個重要貢獻：把最優性和穩定性連到一起。

特別的，對于非線性系統，針對實際工程當中遇到的困難，即選取的能量函數常常不滿足條件，利用不變集理論進行了擴展，也就是所謂的高級穩定性理論。涉及到概念有絕對穩定性，超穩定性，也是非線性控制里面較為經典的結果。

穩定性理論雖然是一種驗證工具，但我們反過來想一想，如果我們設計的控制器直接從保持它的穩定性出發，是不是設計起來就比較簡單？因此也產生了很多種基于穩定理論的控制器設計的方法。

到這里，我們簡單講完了這段故事。而在書寫這行文字的時候，新的故事正在不斷發生。

來源: 系統與控制