上節我們講到，小王與小張共同實驗的結果效果上還不錯，數學上沒有什么問題。但是，數學上暫時沒問題不一定其他地方沒有不足，最主要的是，小張并不喜歡看公式，雖然我們介紹時沒用公式，但幾乎每個點深入下去都是公式，而每個人在工作現場待久了，都喜歡看圖，看儀表的數字，或者直接看狀態。搞了這么多，說白了我就是燒個水，你這邊直接擺一堆公式，當然不怎么被人接受。所以一個很自然的想法就有了，能不能把上面這些公式和定理變成圖呢？

單說圖好辦，我們在介紹“閉環控制”時其實就涉及到圖了，把系統各個部分的功能抽象一下，畫一個框圖沒有什么問題，或者根據信息流動，繪制一個更簡單的路線圖，一般被叫做信號流圖。讓小張困惑的是，怎么把上邊介紹的其他東西，尤其是重要的判斷穩定性的幾個工具變成圖？

這天來了一位朋友叫小文，小張聊著聊著就說到了這個話題，小文看了看之前的成果，掃到了之前小王所寫的筆記“對于傳遞函數來說，當使分母為零的點在坐標系i軸的左側時，它是穩定的。”，來了靈感，說既然這些點這么重要，咱們把這些點在圖上都畫出來不就得了？

于是他們提出了一種方法，叫根軌跡法，它的思路是這樣的：我們前面聊到，零極點的位置會影響系統的性能，而系統的參數又是可以變化的，這就會導致零極點位置的變化，那就可以思考這樣一個問題，能不能以某一參數為自變量，畫出來零極點的變化圖，從而分析系統。

他們把開環系統某一參數從零變到無窮時，閉環系統特征方程式的根在s平面上變化的軌跡稱為根軌跡。并且經過大量實驗總結了一系列繪制步驟，根軌跡法由此誕生。根軌跡比公式是要直觀的，只要得出了根軌跡圖，就可以直觀的看出系統的極點什么時候會出左半平面，而前面提到過，出不出左半平面又與系統穩定息息相關。這樣都變成了圖問題了。

有了根軌跡，小張在設計時只需要看圖，一看，軌跡沒出左半平面，很好。穩定的！這速度比用前文提到的勞斯判據判斷，快了半頓盒飯的時間。就是大量實驗和推導發現的畫圖規則記起來有些麻煩，有時還要考慮這是常規的，參數的，還是零度的。不過對于計算機技術來說，這些都是小事情啦。

小文剛想離開，在旁邊思考的小張攔住了他說，“事情還沒結束呢。現在圖是有了，我能判斷系統的性質了，但問題是我判斷完怎么辦，系統性能不好怎么改進？”

小文聽到這個問題，也覺得目前的結果就做了一半，于是回去繼續看實驗數據圖紙，然后他發現了一些問題，有些系統可以拆成兩項相乘的形式，相對于單獨一項描述的系統，相乘之后的根軌跡變化似乎有什么規律，這是一個啟發。進而和小張一起開發了基于根軌跡的對指標的調節方法，也稱為校正。說到這里，小張有些興奮，但隨即問道，說我知道這個意思，數學上設計一項乘上去調整指標，但畢竟是公式，那么實際中怎么實現呢。小文整理了一下思路，講了這么一段話。

“還記得我們從哪里開始的嗎，你之前設計的基于電路和機械的控制器元件，我們列出來了方程，探討各種概念，后來又畫圖，但歸根結底還是到了這些元件上，那么我們乘上去的這一項，反過來再回去呢？”。小張恍然大悟，“我怎么忘了這事了呢。”

這里多說幾句，很多同學和此時的小張一樣，接觸控制理論時被淹沒在數學公式上不知所措，但我們并不是搞數學的，只是用，要記住自己的出發點哈~

說回本題，既然是基于電路和機械設計的控制器元件，那么就涉及到一個問題：電。一開始小張使用的是直流電，這沒有什么問題，對于直流電來說，以上的分析方法是比較實用的，但我們知道，為了輸電方便，更多時候使用的是交流電，一個簡單描述就是正弦函數。面對交流電，小張犯了難，他也做了一些實驗，發現在經過控制系統后，交流電不僅大小發生了改變，它的另外一個重要指標也發生了改變，我們對正弦函數圖像很熟悉，隨著自變量取值，圖像在1和-1之間來回往復，上邊一半，下邊一半。但默認時刻是從大小為零開始，但當信號經過控制系統后，小張發現，有些信號圖像在時刻沒變的情況下發生了左右移動。

有人就說了，左右移動有什么大不了的？我們可以考慮典型的正弦波圖形，有正有負，如果改變的很湊巧，那么就有可能把一個原本設計這個時刻預想的正的信號改變為一個負的信號，從而導致反饋時明明是負反饋，結果效果上變成了正反饋。這里說的正反饋是將差距不斷拉大的反饋，我們前邊提到的反饋基本都是負反饋，在上述場景中加正反饋還不如不設計。

有人說，我們可以把交流電變為直流電，這個也是一種方法，但除這種方法之外，能不能直接基于交流電進行處理呢？這時候小張主動找到了之前提到的那位小王，好說歹說請了過來，到了現場以后，小王首先注意的不是系統，而是小文的根軌跡圖，一邊看一邊贊嘆，嘿！還是你們會玩！一會我學學，看看推導公式后能不能也化成圖。

拿到熟悉的傳遞函數和熟悉的正弦函數輸入，小王陷入了沉思，這倆怎么才能聯系起來呢，一般的正弦函數是Asinwt，傳遞函數又是拉氏變換的結果，看著拉普拉斯變換和正弦函數，小王不由自主想起來數學上另外一種變換方法：傅里葉變換，于是有了一個想法，試試傅里葉的變換，手一揮。令：S=jw，從拉普拉斯變換退回傅里葉變換，代入傳遞函數：

然后得到了兩個式子，一個描述幅值，一個描述相位差，分別稱為幅頻特性與相頻特性。

“既然畫圖方便，那我也試試”，小王看了一眼小文的思路和自己得到的公式，正好有一個自變量w，以它為零時為起點，無窮為終點，畫了一條曲線，稱為幅相特性曲線。

然后老慣例，穩定性判斷。這時候就是新方向了，得小王自己推導，但推導這種活難不倒小王，他抄起一本數學教材和一堆草稿紙就找了個安靜的地方開始寫，小張也不敢打擾他，只是在旁邊看著他的結論，對于第一次接觸的人來說，那確實像天書。

過了許久，小王放下筆，“搞定！”，小張湊上來問道，可否講講？小王剛想開口念公式，小張補充道，“要不稍微那么簡單一些？”好吧。

首先這個幅相特性曲線不怎么完整，如果系統含有積分環節或者等幅振蕩時要補圓，補完之后經過嚴格論證，小王發現以下結論是成立的:

這個結論簡單總結就是查極點數圈圈。怎么說呢，系統的開環右極點數記作P，當w從負無窮逐漸變大時，系統開環頻率特性曲線所組成的封閉曲線，如果順時針包圍(-1,j0)點的次數為N圈（N>0），若逆時針包圍則N<0，封閉曲線繞(-1,j0)點旋轉360°即包圍一次，則我們可以算一下這個式子：Z=N+P。當Z=0時，系統穩定；Z>0時，系統不穩定。為了跟教材對應，我們這需要說明，在現實世界里，這是一位叫奈奎斯特的人首次提出，因此也稱為奈奎斯特穩定判據。

小張利用這些結論解決了很多問題，但他發現這個圖像有時候過于復雜，在工程當中不能普遍應用，因此小王又在基礎上對這種方法進行了改進，將幅頻與相頻分開畫，并做了許多其他操作，圖像變的清晰明確起來（在現實世界里則被稱為伯德圖）

和根軌跡從圖像到校正的過程一樣，小王也沒有在畫完圖后就此停止腳步，而是也搞起來了校正，得到了一些結論。

這樣，我們就有了兩套方法，一套處理直流電、一套處理交流電。但有個問題也一直困惑著小王和小張，那就是到底是直接將交流電變成直流電好，還是現在這種頻域方法好，為了做的比較全面一些，他們又調出了之前的實驗數據，發現在控制系統分析中，除了穩定性，有時候也需要考慮裕度問題，這個裕度就是指系統能夠忍受一定范圍的變化還能保持穩定，而通過頻域的方法可以直觀的表示出幅值裕度和相角裕度。這是它的一個優勢。

他們還發現了另外一個重要問題，在我們之前的介紹時，從設計的基于電路和機械的控制器元件，列出來了方程，探討各種概念，后來又畫圖，但是如果分析對象不是我們設計的呢？那么反過來了，怎么回去去識別系統的傳遞函數，由于伯德圖可以做實驗得到，而圖像又反映了系統的一些基本環節，因此可以利用這個工具，對一些控制對象，直接寫出它的傳遞函數。在工程當中也是很方便的。

到了這里，現場安靜了一些，無論是時域頻域都有了分析方法，小張按部就班的處理日常事務。一切挺好。不過大家也都知道，再好的設計，也會有新需求沒有滿足的時候，這不，沒持續多久，新的問題又來了。

(未完待續）

來源: 系統與控制