小張選擇了一片空地。準備建設自己的家園。水無疑是最重要的，日常生活里少了水可不行，這片空地旁有條河，小張看中這里也正因如此。但令小張苦悶的是，每次用水的時候都需要自己去挑，偶爾還好，隨著需求的增加，這樣的方式明顯越來越累。有人說這好辦，雇個人專門負責唄，但雇人也得用錢不是。于是小張去河邊看了看，正好有一個合適的地方，可以安裝水管，這樣每次當他需要用水時，打開水龍頭就可以了。大家想一想，從需要用水到打開水龍頭，一般不需要什么其他的操作，一條線下來就可以了，所以這種方式也被稱為開環控制。

水的來源解決了，接水時又出現了一個問題，因為無論大小，只要是容器，它的容量是有限的，所以接水時，小張需要在旁邊隨時觀察著水位情況，一來二去每天有很多的時間花費在這個方面，處理這個問題的一種思路是引入定時器，通過生活經驗可以知道接滿一個具體的容器大概需要多長時間，然后設定定時器，到點自動關，這是另一種開環控制。

有同學可能要問，其他的我都知道，為啥不叫直線控制，叫什么開環控制，引入“環”這個字做什么？我們接著看，設定定時器這個思路很有用，但對于不同容器情況，這種思路不怎么適用，每換一個容器得重新設置一下定時器，這比較麻煩，我們研究控制，最主要的目的還是能省事就省事，得抽出時間去做其他更要緊的事情。

于是小張分析了接水過程，發現其中一個重要的環節就是測水位然后把信號再送回人，人再去關閉水龍頭，流程上形成了一個環，把這個過程畫成圖后，可以畫出一個圓圈，所以被形象的稱為閉環控制。而“測水位把信號送回人”這個部分如果去掉，我們就又回到了上邊的定時器場景，所以為了展現區別，使用了開環控制來描述。

這樣，小張獲得了一個可以控制水位的系統，別的不說，接水時省了很多事情，水龍頭一扭，需要時直接拿走，不用擔心其他問題。等的這段時間就可以做其他事情了。引入的這個部分叢直觀上講比較簡單，似乎是理所應當的東西，但如果我們抽象一下，用一個詞來形容這個部分的功能，我們就可以想到反饋這個詞，這個問題的解決“反饋”做了很大貢獻。既然效果這么好，我們接下來處理問題時可以從這個角度出發了。

過了不久，又有了一個需求：水雖然有了但是涼的，能不能接點熱水？這樣喝水時比較方便，這個簡單，在水管上開了一個分支，加入了一個加熱器（比如鍋爐），剩下的都相同，這樣出來的就是熱水了。在安裝完成后，小張接了一杯，但剛拿起來差點就掉在地上，因為溫度實在太高，于是一個更加高級的需求產生：能不能直接出溫水？這樣也不需要在旁邊再晾一會兒，還能防止燙傷。

拿到這個需求時，小張梳理了一下，溫水？好辦，設計兩個管子，一邊加冷水，一邊加熱水，隨時檢測溫度，溫度高了加冷水，溫度低了加熱水。這樣不就行了。這種簡單閉環的設計思路被稱為開關控制，很快搞了出來投入使用。

但有些事情并沒有那么簡單，小張使用時發現，這個開關控制的思路存在著一些問題，比如這種設計理論上很好，實際中，尤其是到溫度線那里時，溫度差一點，熱水開關打開，溫度上升很快超過了界限，然后冷水開關打開，溫度又迅速下降低于界限，如果把溫度曲線繪制出來，可以觀察到反復震蕩的圖像。等到溫度差不多了。估計出來的水都能裝滿一個池塘了。

有一個很直接的道理：既然想自動，首先得明白怎么手動。所以為了摸清楚里面的機理，小張決定拿上溫度計，自己手動去調節，看看怎么得到溫水。經過一系列的實驗后，特別是燙了不少次手、浪費了不少水后，小張總結了里面需要用到的一些技巧，比如在溫度比較低時，把熱水開關開大，隨著溫度的升高，逐漸關小熱水開關，以控制溫度上升速度，如果溫度超過期望值，則逐漸打開冷水開關。簡單來說，需要關注的量，就是溫度的差值和溫度的變化速度。

那么，溫度的變化怎么衡量呢，高中數學告訴我們，求導，導數就是用來衡量變化的，沒有接觸過導數的同學也不用著急，只要記住他是一個衡量變化的量就可以。至于累計的變化量則用積分表示，這里的積分并不是我們常說的游戲里的積分，它是一種求累計的工具，摸清楚這個機理之后，小張在原有的反饋機制里，用電路等形式加入了求導和積分環節，模仿自己手動操作，用來處理變化速率問題。如果大家之前接觸過控制，問問自動化專業的學生什么方法最常用，大部分人都會說PID，聽上去很高大上是不是，其實我們這段說的就是至今仍然在廣泛運用的PID控制算法。

到這里，小張獲得了一個可以隨時接溫水的機器，暫時沒有了其他問題，裝修完新家后，邀請了一些朋友來家里玩，順帶給大家介紹介紹自己的心血。其中有位朋友叫小王，是數學系的，對這套溫水器感覺非常好奇，仔細聽過小張的經驗介紹后，提出了一個問題：**你怎么能夠確定，經過你這個調節方案，能夠達到你所期望的值呢？**小張一時難以回答，因為他在實踐中確實也發現，一些調試方案不能達到預期的效果。

小王感覺到這是一個值得討論的話題，回到學校后，和同事討論了起來，他們首先畫了整體的圖，然后找了幾組變量，列出了再熟悉不過的方程，因為包含求導和積分環節，被稱為微分方程，然后就開始解，解完又求了各種參數，還探討了幾種新解答。

不過大家也都知道，普通方程有時都很難解，更不用說微分方程了，而要是想解決上邊這個問題，還真得知道解的情況，此時有人提出，哎，咱們可以只盯著輸入輸出啊，說白了就是把溫水器看成一個整體，只關心輸入多少與輸出多少的比值，里面的機理暫時不用描述太多，又有人提出，我記得拉普拉斯他老人家好像提過一個變換，可以簡化微分方程，然后一頓操作，得出了一個輸出與輸入的比值函數，它反映了這個系統的基本性質，至于叫法不同，有的叫傳遞函數，有的叫系統函數。

拿到這個函數，要分析它什么性質成為一個問題，小王看了看現場需要，發現現場總是需要經過控制達到一個輸出穩定的狀態，比如輸出恒溫的水，輸出穩定的電流，保持一定的水位，而這種狀態，轉化成數學，就是當時間趨于無窮時函數是否有一個固定值，如果有，就可以說這個函數是穩定的。

問題清楚了，剩下的就是求解，根據前面的說法，前面的傳遞函數是輸出輸入之比，大家想到比值會想到什么呢，分母不能為零。那么這個使分母為零的點就是一個需要關注的點。

這里為了方便下面結論的理解，我們稍微偏下題，1*1=1,2*2=4,3*3=9，那么誰乘以誰等于-1呢？這個問題曾經給數學帶來的沖擊不小，最后大家為了解決這個問題引入了一種新的數，規定i*i=-1，稱為虛數，并放在了我們熟悉的數后邊，舉一個例子，比如2，用這種新表述就是2+0*i。如果我們把以前熟悉的數放在一條線上，而把i放在另外一條線上，讓這兩條線成90度，那么我們就獲得了熟悉的坐標系。而那些前邊數字為負數、后邊i的系數無所謂的點，則全部在坐標系I軸的左側。

我們回到主題，有了“使分母為零的點”這個可能的方向，小王很快發現，對于傳遞函數來說，當使分母為零的點在坐標系i軸的左側時，它是穩定的。由這個現象出發，通過數學推導，利用方程的系數上總結了幾條結論，用來判斷系統的穩定性，這就是著名的勞斯穩定判據。

小王帶著這個判據回去找到了小張，與他一同進行了多次實驗，細致分析了溫度曲線，陸陸續續規定了一些指標，比如：

上升時間（從零時刻到首次達到穩態值的時間）、

調節時間（從零開始到進入穩態值的95%--105%(或98%--102%)誤差帶時所需要的時間）

超調量（過渡過程的最大偏差）等；

做完這些之后，小張對于自己的系統也有了更清晰的了解，尤其是提出的指標體系更加細化，感覺到了數學幫助人思考的重要作用，但他又向小王提問了一個自己之前遇到的問題：在一些設計方案中，輸出的水溫比較穩定，這很好，但是用溫度計一測，和期望值有點差距，比方說需要39度的水，可能輸出的一直就是20度的水，這讓小張感到很困惑。

小王感覺到這里面一定有秘密，于是他們又開始實驗和理論分析，通過分析，他發現，這是一個系統性質。稱為穩態誤差，而對于如何求解，小王想起來數學上一個專門處理這類問題的工具：**終值定理。**終值二字，正是我們所要解決的前面剛提到的：“當時間趨于無窮時函數是否有一個固定值”。

到這里，似乎理論已經齊備了。但真的齊備了嗎？

（未完待續）

來源: 系統與控制